Щоб визначити площу трикутника, можна користуватися різними формулами. З усіх способів найлегший і часто застосовуваний — це множення висоти на довжину підстави з наступним діленням одержаного результату на два. Однак даний метод далеко не єдиний. Нижче ви зможете прочитати, як знайти площу трикутника, використовуючи різні формули.
Окремо ми розглянемо способи обчислення площі специфічних видів трикутника — прямокутного, рівнобедреного і рівностороннього. Кожну формулу ми супроводжуємо коротким поясненням, яке допоможе вам зрозуміти її суть.
Універсальні способи знаходження площі трикутника
У наведених нижче формулах використовуються спеціальні позначення. Ми розшифруємо кожне з них:
- a, b, c – довжини трьох сторін розглянутої нами фігури;
- r – радіус окружності, яка може бути вписана в наш трикутник;
- R – радіус тієї окружності, яка може бути описана навколо нього;
- ? — величина кута, утвореного сторонами b і с;
- ? — величина кута між a і c;
- ? — величина кута, утвореного сторонами а і b;
- h – висота нашого трикутника, опущена з кута ? на бік а;
- p – половина суми сторін a, b і с.
S=? a·h
Логічно зрозуміло, чому можна знаходити площу трикутника цим способом. Трикутник легко добудовується до паралелограма, в якому одна сторона трикутника буде виконувати роль діагоналі. Площа паралелограма знаходиться множенням довжини однієї із його сторін на значення висоти, проведеної до неї. Діагональ поділяє цей умовний паралелограм на 2 однакових трикутника. Отже, цілком очевидно, що площа нашого вихідного трикутника повинна дорівнювати половині площі цього допоміжного паралелограма.
S=? a · b·sin ?
Згідно цій формулі, площа трикутника знаходиться множенням довжин двох його сторін, тобто а і b, на синус утвореного ними кута. Ця формула логічно виводиться з попередньої. Якщо опустити висоту з кута ? на сторону b, то, згідно властивостям прямокутного трикутника, при збільшенні довжини сторони a на синус кута ? отримуємо висоту трикутника, тобто h.
S=? r(a+b+c)
Площа даної фігури знаходимо шляхом множення половини радіусу кола, яку в нього можна вписати, на його периметр. Іншими словами, знаходимо твір полупериметра на радіус згаданої колу.
S= a · b · с/4R
Згідно цій формулі, необхідну нам величину можна знайти шляхом ділення твори сторін фігури на 4 радіусу окружності, описаної навколо неї.
Ці формули універсальні, так як дають можливість визначити площа будь-якого трикутника (різнобічного, рівнобедреними, рівностороннього, прямокутного). Можна це зробити і за допомогою більш складних обчислень, на яких ми детально зупинятися не будемо.
Площі трикутників зі специфічними властивостями
Як знайти площу прямокутного трикутника? Особливістю цієї фігури є те, що дві її сторони одночасно є її висотами. Якщо а і b є катетами, а стає з гіпотенузою, то площа знаходимо так:
S=? a b
Як знайти площу рівнобедреного трикутника? В ньому дві сторони з довжиною а та одна сторона з довжиною b. Отже, його площу можна визначити шляхом ділення на 2 твори сторони квадрата а на синус кута ?.
Як знайти площу рівностороннього трикутника? У ньому довжина всіх сторін дорівнює а, а величина всіх кутів — ?. Його висота дорівнює половині добутку довжини сторони а на корінь квадратний з 3. Щоб знайти площу правильного трикутника, потрібно квадрат сторони помножити на корінь квадратний з 3 і розділити на 4.
